WisFaq!

Pandddemon Ellips-constructie

Beste lezer,

Ik loop in een bewijs vast. Dit bewijs gaat over een constructie gebaseerd op de verplaatsing van een lijnstuk (met vaste lengte) over twee snijdende lijnen, zie de pagina: http://www.pandd.demon.nl/ellips/ellips5.htm#a (de site van Dick Klingens).

de coördinaten van punt x worden in het bewijs bepaald:
X_x=ka
Y_x=kb-b

Maar deze Y-waarde begrijp ik niet helemaal.
Als k negatief zou zijn, zou X_x negatief zijn en Y_x ook negatief, waardoor het niet in het verlengde van AB ligt.
Als k positief zou zijn, zou X_x positief zijn en Y_x ook positief, waardoor het niet in het verlengde van AB ligt.

k is in het figuur (5c) positief weergegeven, zou Y dan niet '-kb-b' moeten zijn?

Wat doe ik verkeerd in mijn redenering?

Met vriendelijke groeten, Jeroen

Jeroen
1-9-2010

Antwoord

Dag Jeroen,

Moet toegeven dat je dat goed opgemerkt hebt. Veel mensen nemen gewoon over wat op internet gepubliceerd staat. Ik zie daar namelijk ook een fout op die plek.

Je kunt verschillende situaties uitproberen om te concluderen dat het fout is (wat jij doet), maar ik ga nu proberen om de coordinaten van X zelf te bepalen, dan kom ik ook op iets anders uit. Ik gebruik echter niet het punt X, maar het punt Z. Dit omdat ik het anders te verwarrend ga vinden met een grote X (naam) en kleine x (variabele). Dus X wordt even Z. Ik raad aan om even mee te tekenen.

Ik begin met de punten O(0,0), A(a,0) & B(0,b). Deze vormen een rechthoekige driehoek waarin geldt: |OA|=a, |OB|=b en
|BA|=Ö(a²+b²)
Verleng ik |BA| met een factor k tot punt Z(x_Z,y_Z), dan wordt |BZ|=k·|BA|
Nu kan ik vanuit punt Z ook een loodrechte lijn tekenen op de y-as:
P(0,y_Z). Zie nu dat DOAB gelijkvormig is aan DPZB (evengrote hoeken).

Dan:
Als |BZ|=k·|BA|=k·Ö(a²+b²), dan ook:
|PZ|=k·|OA|=k·a & |PB|=k·|OB|=k·b (zelfde factor k)

Omdat x_P=0, geldt x_Z=0+k·a=k·a
Omdat y_B=b, geldt y_P=y_Z=b-k·b
Dus Z(k·a;b-k·b)

Zo'n tekening kun je altijd snel even naschetsen waardoor je zelf even alles op nieuw kunt construeren en redeneren. Hopelijk heb je mijn beredenering kunnen volgen. Het is dus inderdaad fout wat daar staat, maar wat volgens jou y_Z zou moeten zijn is ook niet goed. Wel als je bedoelt: -(kb-b).

Mvg Thijs Bouten

tb
1-9-2010