WisFaq!

Formule van Euler

De formule van Euler zegt dat cos x + i sin x gelijk is aan e^{complex getal}.

Mijn vraag is hoe het dan kan dat je bijvoorbeeld ook -10 als antwoord kan krijgen. Want als je op je rekenmachine in(-10) intypt krijg je een antwoord. Maar de cos + sin kan toch nooit min tien worden.

Mark de Koning
24-8-2010

Antwoord

Dag Mark,
De formule van Euler luidt: cos x + i sin x = e^(ix)
Wil je oplossen:
e^(ix) = -10
dan neem je van beide kanten de ln (natuurlijke logaritme). Dan is:
ix = ln(-10)
En omdat we met complexe getallen werken, bestaat ln(-10). Met afronding op 3 decimalen:
ln(-10) = 2,303 + 3,142 i (dit is dus een complex getal!)
En dan vind je voor x:
x = ln(-10)/i = 3,142 - 2,303 i (immers 1/i = -i, omdat i² = -1)

En er staat NIET dat cos(iets) + sin(iets) = -10. De sinus wordt vermenigvuldigd met i..., terwijl dat 'iets' ook nog eens een complex getal is.
Nb. Dat getal 3,142 is eigenlijk $\pi$. Merk ook op dat ln(10) = 2,303.

dk
24-8-2010