WisFaq!

Differentiaalvergelijking oplossen

Beste wisfaq,
ik heb twee vergelijkingen die ik wil oplossen:

xy'-4y=x^2
en
y'=1+2x+x+2xy

Voor beide vergelijkingen pas ik de methode van variatie en constante toe.

De eerste verg. levert geen probleem op:
Voor de homogene gedeelte (y=0) is mijn oplossing
y=De^(-x^2) [1]
Voor de totale oplossing vervang ik constante D door een functie (k) in [1], en bepaal hier de afgeleide ²
[1] en ² invullen in de oorspronkelijke vergelijking levert het juiste antwoord, namelijk: y=0,5+Ce^(x^2)

Nou probeer ik op dezelfde manier voor de tweede verg. een oplossing te vinden. De verg. y=0 resulteert in
y=De^(2x+2x) en vanaf hier loopt het mis.
door wat kan ik D vervangen? als ik hiervoor een functie (k) invul, dan kan ik de vergelijking niet meer vereenvoudigen...
y=ke^(2x+x^2)
y'=(x+2x)ke^(2x+x^2)+ k'e^(2x+x^2) en dit in de oorspronkelijke verg invullen levert uiteindelijk:
xke^(2x+x^2)+ k'e^(2x+x^2)=1+2ke^(2x+x^2)+x
ik heb 1 vergelijking en 2 onbekenden (k en k') en is dus niet op te lossen...

alvast bedankt!

mvg,

Carlos

carlos
23-8-2010

Antwoord

Carlos,
Het antwoord van de eerste vergelijking is natuurlijk helemaal fout.Vul zelf maar in.Je neemt eerst xy'-4y=o,dus dy/y=4dx/x,waaruit volgt dat
y(x)=Cx⁴.Nu neem je y(x)=u(x)x⁴ en invullen in de vergelijking
xy'-4y=x² geeft:u'(x)x⁵+4u(x)x⁴-4u(x)x⁴=x²,dus u'(x)=1/x³,zodat
u(x)= -¹/₂1/x²,en de algemene oplossing wordt y(x)=Cx⁴-¹/₂x².

kn
23-8-2010