WisFaq!

Limiet berekenen

beste wisfaq,

ik wil aantonen dat lim$\to$x=0 van x²sin($\pi$/x)=0

bij het invullen van x=0 is de uitkomst 0·$\infty$

ik kan de som herleiden naar een quotient om vervolgens L'Hopital toe te passen.

x²/(1/2sin($\pi$/x))= 0/0

Bij L'Hopital 2x te gebruiken krijg ik in de teller:2
maar de noemer levert een probleem omdat deze steeds een oneindige waarde levert (sin($\pi$/x blijft in de noemer ook nadat L'Hopital 2x toegepast wordt)
is het juiste antwoord 2/$\infty$=0 of zie ik iets over het hoofd?

alvast bedankt!

mvg,

Carlos

carlos
17-8-2010

Antwoord

Beste Carlos,

De regel van l'Hôpital lijkt mij hier niet zo interessant, die noemer twee keer afleiden wordt al gauw erg vervelend. Je kan hier handig gebruikmaken van de insluitstelling; voor sin($\pi$/x) geldt immers:

-1 $\leq$ sin($\pi$/x) $\leq$ 1

Dus ook:

-x² $\leq$ x².sin($\pi$/x) $\leq$ x²

Neem nu de limiet naar 0 en je ziet dat de gezochte functie 'ingesloten' zit tussen twee functies die naar 0 gaan...

mvg,
Tom

td
19-8-2010