WisFaq!

Snijcirkel van twee bollen

Twee bollen met vergelijkingen (x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2=
(r1)2 resp. (x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2=(r2)2 snijden elkaar. Wat is de vergelijking in de ruimte van de snijcirkel van beide bollen

H van Langeveld
14-8-2010

Antwoord

Een cirkel wordt in de ruimte beschreven door twee vergelijkingen (bijvoorbeeld die van de twee bollen), of (alternatief) door één parametervoorstelling.

Het bepalen van een parametervoorstelling kan als volgt:

1) De vector u = m2-m1 van het middelpunt M1 van de ene bol naar het middelpunt M2 van het andere staat loodrecht op het vlak van de snijcirkel.
Vind twee vectoren v en w die loodrecht op u staan en loodrecht op elkaar.

2) Druk de afstand a van M1 tot het vlak van de snijcirkel en de straal r van de snijcirkel uit in de stralen r1 en r2 van de twee bollen en de (bekende) afstand b tussen hun middelpunten.
Dit kan door de stelling van Pythagoras twee keer toe te passen. (Maak eerst een schets.)

3) Een parametervoorstelling is nu m1 + au/|u| + r*cos(t)v/|v| + r*sin(t)w/|w| .

NB: Voorwaarde is natuurlijk dat de afstand tussen de middelpunten M1 en M2 kleiner is dan of gelijk aan r1+r2.

hr
19-8-2010