WisFaq!

Priemgetal eigenschap?

Als p3 is en p zowel als 2p+1 zijn beide priemgetallen kan 4p+1 dan priem zijn?
Antw.(ged): In het algemeen niet natuurlijk, neem voor p maar 5 of 23. Echter, het kan natuurlijk best zo zijn dat er een priemgetal is waarvoor de bewering waar is.
Ik was niet in staat om te bewijzen dat er geen priemgetal p bestaat waarbij p en 2p+1 beide priem zijn maar 4p+1 niet.
Wie weet raad? Bij voorbaat dank.

R. Matthijs
8-8-2010

Antwoord

Priemgetallen groter dan 3 zijn te schrijven als 6k+1 of als 6k+5 met k geheel.
Bekijken we eerst de priemgetallen die te schrijven zijn als p=6k+1.
Dan 2p+1=2(6k+1)+1=12k+2+1=12k+3=3·(4k+1).
Met andere woorden 2p+1 is dan deelbaar door 3.
Dus er bestaan geen priemgetallen p=6k+1 zo, dat 2p+1 priem is.

Bekijken we nu de priemgetallen die te schrijven zijn als p=6k+5;
2p+1=2(6k+5)+1=12k+10+1=12k+11=6m+5.
Er bestaan dus wel priemgetallen p van de vorm 6k+5 zo,dat 2p+1 priem is.
Bekijken we nu 4p+1 dan geldt:
4p+1=4·(6k+5)+1=24k+20+1=24k+21=3·(8k+7).
Met andere woorden 4p+1 is dan deelbaar door 3.
Er bestaan dus geen priemgetallen p3 zo, dat 2p+1 en 4p+1 beide priem zijn.

hk
8-8-2010