WisFaq!

Hoe trek je de wortel uit een complex getal?

Bij mijn profielwerkstuk wiskunde moest ik van de leraar uitgebreider vertellen over worteltrekken met complexe getallen.

Ik ben al wel wat gevorderd en weet wat complexe getallen zijn en hoe ze worden gebruikt, optellen en aftrekken kan ik alsmede delen en vermenigvuldigen.

Wat is er zo bijzonder aan worteltrekken en machtsverheffen met complexe getallen?

O ja, machtsverheffen heb ik kunnen afleiden uit het vermenigvuldigen van 2 complexe getallen te vergelijken met die van 3 getallen.

BVD

malik
28-4-2003

Antwoord

Hoe trek je de wortel uit een complex getal?
De clou is DIT:
Een complex getal ziet eruit als a+ib
Je wilt weten wat √(a+ib) is. Je weet dat de uitkomst in het algemeen ook een complex getal is, zeg c+id. Dus wat je zeker weet is:

√(a+ib) = c+id.

Uit de wortel moet weer een een of ander complex getal komen. Links en rechts kwadrateren:

a+ib = (c+id)² $\Leftrightarrow$
a+ib = c² + 2icd - d²
de - voor de d² komt natuurlijk doordat de laatste term
(id)² = i²d² = -1.d² = -d²

Je krijgt nu 2 vergelijkingen. Het reele gedeelte links is gelijk aan het reele gedeeltje rechts,... en voor de complexe gedeeltes evenzo.

Dus:
a = c²-d²
b = 2cd
hieruit zijn c en d op te lossen en heb je de wortel uit a+ib te pakken.

Voorbeeld:
√(3+4i)
√(3+4i) = c + id $\Leftrightarrow$
3+4i = c²-d² + 2icd $\Rightarrow$
c²-d²=3, EN
2cd = 4

Uit de 2e vergelijking volgt d=2/c. vul deze in in de 1e vergelijking:
c²-4/c²=3 $\Leftrightarrow$ (links en rechts met c² vermenigv.)
c⁴-4=3c²$\Leftrightarrow$
c⁴-3c²-4=0. stel c²=y:
y²-3y-4=0 $\Rightarrow$ (y-4)(y+1)=0 $\Leftrightarrow$
y=4 $\wedge$ y=-1 ofwel c²=4 $\wedge$ c²=-1

Nu moet je goed onthouden dat c en d REELE getallen zijn, dus c² danwel d² mogen niet negatief zijn. (want dan zouden ze imaginair worden)

Vandaar dat alleen c²=4 een geldige oplossing is.

$\Rightarrow$c=2 (en dus d=1) of c=-2 (en dus d=-1)
hieruit volgt dat
√(3+4i) = 2+i of -2-i

Machtsverheffen van een complex getal gaat met een vergelijkbare 'truc'.
Stel je wilt berekenen (a+ib)²
Je weet dat er ook weer een complex getal uit moet komen, bijv. c+id dus:
(a+ib)²=c+id $\Leftrightarrow$
a²-b²+2iab=c+id $\Rightarrow$
a²-b²=c, EN 2ab=d.
hieruit zijn c en d op te lossen.

vb: (1-2i)²

(1-2i)²=c+id $\Leftrightarrow$
1-4i-4=c+id $\Rightarrow$
c=-3 en d=-4
dus (1-2i)²=-3-4i

groeten,
martijn

mg
28-4-2003