WisFaq!

Algemene vergelijking graad 2

1.10.1 Opdracht. Bekijk een algemene vergelijking van graad twee
ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0
in variabelen x en y met gehele coëfficiënten a, . . . , f. Toon aan dat
als de vergelijking één oplossing heeft in rationale getallen, zij er dan
oneindig veel heeft, als volgt.
(a) Noem de gegeven rationale oplossing (x₀, y₀). Schrijf de vergelijking
op van een rechte lijn Lt door (x₀, y₀) met hellingsgetal
t, waarbij t een rationaal getal is.
40
(b) Toon aan dat het tweede snijpunt (x₁, y₁) van Lt met de oplossingen
van de gegeven vergelijking ook een rationale oplossing
is. Hint: je kan een formule voor x₁ en y₁ afleiden. Het kan
ook korter als volgt. Laat het volgende zien:
Stelling. Als ax₂ + bx + c = 0 een vergelijking is
met a, b, c rationale getallen, a 6= 0 en oplossingen
x₀ en x₁, dan is x₀ · x₁ = c/a.
Dit kan je zien door ax₂ + bx + c = a(x − x₀)(x − x₁) te
schrijven.
(c) Toon nu aan dat er oneindig veel oplossingen zijn voor de oorspronkelijke
vergelijking.

Alvast bedankt!

Gr. Johan

Johan
7-7-2010

Antwoord

Johan,zie
http://www.staff.science.uu.nl/~corne102/publications/diovglvanuitdeverte.pdf

kn
7-7-2010