WisFaq!

Newton methode

Hallo, ik kom niet helemaal uit de volgende vraag.

Gegeven functie f(x)=x³-3x+1 met op het interval [0,1] precies één nulpunt xi.

Gegeven is het interval [0.3,0.4]. Aangenomen mag worden dat de rij punten xn gegenereerd met de Newton methode kwadratisch naar het nulpunt xi in [0.3,0.4] convergeert voor iedere x₀ in [0.3,0.4], op de volgende manier:
|x(n+1)-xi|=|xn-xi|². Hoeveel Newton stappen zijn nodig om xi met een absolute fout kleiner dan 10^-8 te bepalen?

Ik zat er aan te denken |xn-xi|10^-8 te nemen. Dan wordt:
|x(n+1)-xi|10^-4
Is het aantal stappen n dan gewoon gelijk aan:
¹/₂ⁿ=10^-4
n=13,3
dus 14 stappen?

Dankuwel.

vriendelijke groet

Kees
1-7-2010

Antwoord

Kees,
Als f(p)=0, met 0,3p0,4, dan geldt dat
|x(n+1)-p|=¹/₂|x(n)-p|²|f''(z)|/|f'(x(n))|,met z tussen 0,3 en 0,4.
Neem x(0)tussen 0,3 en 0,4.Dan kun je het rechterlid afschatten en je vindt dan dat |x(1)-p|10^-2.Dus na 3 stappen is de absolute fout kleiner dan
10^-8.

kn
3-7-2010