WisFaq!

Stelling van Ceva

Voor een project voor school moet ik de stelling van Ceva bewijzen. Het lukt mij wel om bijvoorbeeld te bewijzen dat de hoogtelijnen, zwaartelijnen en bissectrices door 1 punt gaan. Maar ik weet niet wat ik verder moet doen.

Ook zou ik graag een paar toepassingen van deze stelling willen weten.

Joop
3-6-2010

Antwoord

In de figuur zien we een driehoek ABC met drie lijnen vanuit de hoekpunten die door een binnen de driehoek gelegen punt P gaan en die de overstaande zijden snijden in respectievelijk D, E en F.

Over zo'n driehoek gaat de stelling van Ceva. Die zegt dat AD, BE en CF door één punt gaan, dan en alleen dan als
^AF/_BF * ^BD/_CD * ^CE/_AE = 1

We gaan het in stappen bewijzen.

We kijken eerst naar de verhoudingen van de oppervlaktes. We zien dat

Opp(DAFC) : Opp(DBFC) = AF : BF.

AF en BF zijn immers bases van DAFC en DBFC met dezelfde hoogte vanuit punt C.

Maar op bijna dezelfde manier weten we dat

Opp(DAFP) : Opp(DBFP) = AF : BF.

En in plaats van P kunnen we elk punt nemen op CF.

En omdat

Opp(DAPC) = Opp(DAFC) - Opp(DAFP)
en
Opp(DBPC) = Opp(DBFC) - Opp(DBFP)

geldt ook dat

Opp(DAPC) : Opp(DBPC) = AF : BF.

Het gaat nog verder: Als voor een punt Q geldt dat Opp(DAQC) : Opp(DBQC) = AF : BF, dan moet Q wel op CF liggen. Immers, als CQ en AB zouden snijden in een ander punt dan F, dan zou de verhouding AG : BG veranderen ten opzichte van AF : BF.

Dus we constateren:

CF is de meetkundige plaats van punten P zodat Opp(DAPC) : Opp(DBPC) = AF : BF

en net zo

AD is de meetkundige plaats van punten P zodat Opp(DBPA) : Opp(DAPC) = BD : CD
BE is de meetkundige plaats van punten P zodat Opp(DCPB) : Opp(DAPB) = CE : AE

We concluderen dat:

• Opp(DAPC) : Opp(DBPC) = AF : BF
  
• Opp(DBPA) : Opp(DAPC) = BD : CD
  
• Opp(DCPB) : Opp(DAPB) = CE : AE
  

Daarmee kunnen we bewijzen, dat als AD, BE en CF door één punt P gaan, dan geldt

^AF/_BF * ^BD/_CD * ^CE/_AE
= ^Opp(DAPC)/_Opp(DBPC) * ^Opp(DAPB)/_Opp(DAPC) * ^Opp(DBPC)/_Opp(DAPB)
= 1

wat je makkelijk kunt controleren met de oppervlaktes hierboven.

Dat is de "ene kant" van de Stelling van Ceva. Als de drie lijnen door een punt gaan, is het product gelijk aan 1.

De andere kant moeten we nog aantonen: Als het product gelijk is aan 1, dan gaan de drie lijnen door een punt.

Dus we nemen aan dat

^AF/_BF * ^BD/_CD * ^CE/_AE = 1

en P is het snijpunt van AD en CF. We vragen ons af of P ook op op BE ligt.

Natuurlijk weten we nu dat

^Opp(DAPC)/_Opp(DBPC) * ^Opp(DAPB)/_Opp(DAPC) * ^CE/_AE = 1

vereenvoudigen geeft

^Opp(DAPB)/_Opp(DBPC) * ^CE/_AE = 1

en dus

^Opp(DBPC)/_Opp(DAPB) = ^CE/_AE.

Eerder zagen we dat BE de meetkundige plaats is van punten P zodat Opp(DCPB) : Opp(DAPB) = CE : AE. Conclusie: P ligt ook op BE. En dat is het bewijs van de omgekeerde kant van de Stelling van Ceva.

Wat kunnen we hiermee? Nu is het door 1 punt gaan van de zwaartelijnen een peuleschilletje om te bewijzen. Met een zoekopdracht is er vast veel meer te vinden (In het Engels heet de stelling "Ceva's theorem"). Succes!

FvL
4-6-2010