WisFaq!

Lengte van een kromme

bep lengte van √(4x-x²) tussen de punten (2.0) en (4.0)

als ik de formule voor lengte van een kromme gebruik: bep int van √(1+afg²) dan bekom ik volgende oplossing:
bepaalde integraal tussen 2 en 4 van 4/(x(4-x))
deze is echter niet oplosbaar! en toch moet er een lengte te vinden zijn...
Help :)

Jan
28-5-2010

Antwoord

Beste Jan,

Gebruikmakend van de formule van de booglengte van een grafiek van $f(x)$ tussen de grenzen a en b, zijnde $\int_a^b \! \sqrt{1 + (f \; ' (x))^2}\,dx$ krijg je voor de afgeleide het volgende:$\frac{4-2 \cdot x}{2 \cdot \sqrt{4 \cdot x-x^2}}$. Dus de afgeleide in het kwadraat is dan $\frac{(4-2 \cdot x)^2}{4 \cdot (4 \cdot x-x^2)}$.

Laten we de integraal eerst onbepaald oplossen, dan kun je achteraf altijd nog de grenzen invullen (en hoef je je niet druk te maken over aanpassing van de grenzen).
Kun je zelf laten zien dat na vereenvoudiging de integraal eigenlijk neerkomt op $2 \cdot \int \frac{1}{\sqrt{4-(x-2)^2}} dx$.
Subtitueer nu $u = x - 2$ en maak gebruik van het feit dat $\int{\frac{1}{\sqrt{4-u^2}}} = \arcsin{(\frac{u}{2}).}$
Kun je het nu zelf verder afmaken?

Mochten er nog vragen zijn, reageer gerust.

Groetjes,

Davy.

Davy
28-5-2010