WisFaq!

Meetkundige rij en de rede berekenen

Beste,

Ik heb hier een opdracht liggen over een meetkundige rij. Ik heb een aantal gegevens en moet een aantal onbekende zaken uitrekenen.

Gegeven is:
U₁ = -3 (eerste term)
n = 12 (aantal termen)
S_n = -797160 (som van de termen)

Gevraagd is: q (de rede) & U_n (expliciet voorschrift)

De uitkomst zou q = 3 en U_n = -5031441 moeten zijn.

De formules die ik denk nodig te hebben:

U_n = U₁ . q^n-1

S_n = U₁(1-qⁿ)/(1-q)

Eerst zou ik de formule van S_n gebruiken, daaruit zou ik mijn q moeten kunnen halen en daarna zou ik U_n moeten kunnen berekenen. Nu, ik zit een beetje vast met die q¹², ik weet niet goed hoe ik daar vanaf geraak en hoe ik uiteindelijk mij q uit die S_n-formule kan halen. (Ik heb al enkele zaken geprobeerd, maar ik kom nooit op 3 uit [wel op 3,11])

Jan Claes
23-5-2010

Antwoord

Beste Jan,

Dank voor je vraag. Een problematische vraag, omdat we er met puur uitrekenen niet helemaal gaan komen. Natuurlijk, als je de elfdemachtswortel neemt van -797160/-3 dan kom je op ongeveer 3,11. Dus weet je dat het antwoord dicht moet zitten bij 3, iets kleiner moet zijn. Met proberen blijkt 3 dan inderdaad te kloppen. Maar dat lijkt toch een soort van gokken.

Gelukkig kunnen we iets meer gericht proberen, als we er vanuit gaan dat q een rationaal getal is, dus een breuk. Dat gaat zo:

Als je je gegevens invult krijg je:

-797160 = -3 (1-q¹²)/(1-q)

dus

265720 = (1-q¹²)/(1-q)

of, als je links en rechts van de = met 1-q vermenigvuldigt

265720(1-q) = 1-q¹²

en dit is om te werken naar

q¹² - 265720q + 265719 = 0.

Dit is een twaalfdegraadsvergelijking, die we normaal gezien niet op kunnen lossen. Maar omdat we ons beperken tot rationale getallen, kunnen we toch iets meer doen.

We gaan gebruik maken van een stelling die ik alleen in het Engels ken als 'rational zero theorem' of 'rational roots theorem':

• MathWorld: Rational Zero Theorem

Deze stelling zegt dat als van een veelterm met geheeltallige coëfficiënten een breuk de oplossing is, en die breuk is zo ver mogelijk vereenvoudigd, dan moet de teller een deler zijn van het losse getal, en de noemer een deler van de coëfficiënt bij de hoogste macht. Negatieve getallen tellen ook als deler.

In ons geval moet de teller een deler zijn van 265719 en de noemer van 1 - dus q is een geheel getal. De priemfactorenontbinding van 265719 is 3 · 23 · 3851.

Dus mogelijke oplossingen zijn, rekening houdend met dat q kleiner moet zijn dan 3,11:

1, 3, -1, -3

Hiervan voldoen 1 en 3 aan de formule. Maar 1 is duidelijk niet het antwoord dat we zoeken. En dus moet het wel q=3 zijn.

Hopelijk heb je hier wat aan.

Groeten,

FvL
25-5-2010