WisFaq!

Ondergroepen index 2 Dn

Beste Wisfaq!
Van mij wordt er verwacht dat ik de ondergroepen van index 2 in Dn voor n1 bepaal. Ik heb echter geen idee hoe ik dit moet aanpakken! Kan iemand mij helpen?
Bedankt

Alice

Alice
19-5-2010

Antwoord

Neem zo'n ondergroep G en bedenk dat G een noraaldeler is en dat Dn/G een groep van twee elementen is. Dit betekent dat f² in G zit voor elk element van Dn. In het bijzonder geldt dat r^2k in G zit, voor elke k (r is de rotatie die Cn voortbrengt).
Als n oneven is kun je hiermee laten zien dat Cn een deelverzameling van G moet zijn, dus G=Cn.
Als n even is zie je dat alle even machten van r in G moeten zitten. Als er nog een oneven macht van r in G zit geldt G=Cn; blijft dus het geval dat de doorsnede van G en Cn uit precies de even machten van r bestaat.
Dat moet de rest van G uit elementen van de vorm sr^k bestaan; je kunt narekenen dat of al die k even zijn of allemaal oneven. Zo hou je nog maar twee mogelijkheden voor G over (waarvan je dus nog moet nagaan of het ondergroepen ziijn).

kphart
19-5-2010