WisFaq!

Integraal met afgeleide van tan

Hallo,

Bij het berekenen van volgende intergraal (S-teken) ben ik niet helemaal zeker.
1/6
S ( 3/(cos²2x) )dx =
0

1/6
3 S ([tan 2x]' )dx =
0

1/6
[3 tan 2x] = 33
0
Wat doe ik fout?

Al vast bedankt.
Groeten,
Sjoerd

Sjoerd
31-12-2002

Antwoord

zoals je wel weet, is de afgeleide van tanx gelijk aan
1/cos²x

wat nou als je dan de primitieve moet nemen van
1/cos²(2x),........... zou dat weer tan(2x) zijn??
Nee, want dan zie je de kettingregel over het hoofd.

de afgeleide van tan2x is namelijk niet 1/cos²2x maar
2.1/cos²2x
hieruit volgt dat als we tan2x met ¹/₂ vermenigvuldigen, dat we dan wèl de juiste primitieve te pakken hebben.
Je moet altijd de primitieve op zijn correctheid testen door er weer de afgeleide van te nemen.

Met primitiveren is dit meestal zo de werkwijze: je doet als het ware een gooi naar de primitieve,... maar als blijkt dat de afgeleide ervan je een bepaalde factor naast de oorspronkelijke functie laat uitkomen, dan DEEL je de primitieve door die factor, en klaar ben je.

nu in jouw geval:
Het gaat je feitelijk om de primitieve van 3/cos²2x
dit ZOU wel eens 3tan(2x) kunnen zijn.
Dit is dus je eerste 'gok'.
Je gaat dit checken door hier weer de afgeleide van te nemen, en wat blijkt:
de afgeleide van 3tan2x is 6/cos²2x (vanwege de kettingregel moest je immers ook nog naar 2x differentieren)
Je zit er dus een factor 2 naast. Vandaar dat je de primitieve die je 't eerst dacht, deelt door 2:
F(x)=(3/2)tan2x

Hieruit volgt dat de uitkomst van je integraal is:
(3/2)tan(2. /6)-(3/2)tan(2.0)
= (3/2)tan( /3)-(3/2)tan(0)
= (3/2)3 - 0
= (3/2)3

groeten,
martijn

mg
1-1-2003