WisFaq!

Driehoek en parabool

Hallo Wisfaq,
In een parabool p: y²=2px is een driehoek OAB beschreven, zo dat de top in de oorsprong van P ligt en dat |AB| de normaal is aan P in punt A en |OA| loodrecht op |OB| staat.Bewijs dat |AB|=3|OA|.

Graag wat hulp aub
Groeten,
Rik

Rik Lemmens
1-5-2010

Antwoord

Dag Rik,
Kies op de parabool het punt A = (2pt², 2pt).
Die t bepalen we later wel.
Dan zijn de coördinaten van het punt B te berekenen omdat de lijn OB loodrecht staat op de lijn OA. Ik vind: B = (2p/t², -2p/t).
De richtingscoëfficiënt van de lijn AB is dan te vinden.
En de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t in A aan de parabool eveneens.
Hun product is gelijk aan -1 (de lijnen t en AB staan immers ook loodrecht op elkaar).
Ik kom dan uit op de vergelijking: t² - 1 = -¹/₂.
Waaruit twee waarden van t (vanwege de symmetrie).
Na enig rekenwerk vind ik tenslotte met de berekende waarde(n) van t:
|OA|² = 3p² en |AB|² = 27p²
Inderdaad is dan |AB| = 3 |OA|.

dk
4-5-2010