WisFaq!

Parabool en cirkel

Goede dag,

Een parabool is gegeven met zijn topvergelijking:P: y²=2px Als vier punten van P concyclisch zijn (op één cirkel liggen) dan is de som van de tweede coördinaten gelijk aan NUL. Bewijs .Gaarne wat sturing tot oplossing aub.
Groetjes
Rik

Rik Lemmens
1-5-2010

Antwoord

Dag Rik,
Je vraagt om wat sturing...
Ga eens uit van een willekeurige cirkel met vergelijking:
(x - a)² + (y - b)² - r² = 0
Snijd deze cirkel met de parabool en elimineer daarbij dan de x.
Dit geeft een 4e-graads vergelijking in y waarin GEEN term met y³ voorkomt.
De y-coördinaten van de 4 verschillende snijpunten van cirkel en parabool, y₁, ..., y₄, moeten dus voldoen aan die vergelijking. Zodat ook geldt:
(y - y₁)(y - y₂)(y - y₃)(y - y₄) = 0
Werk deze vergelijking (deels) uit en kijk naar de coëfficiënt van de term met y³ daarin.
En dan blijkt direct (vanwege de equivalentie van beide vergelijkingen) dat y₁ + y₂ + y₃ + y₄ gelijk aan 0 moet zijn.
Groet,

dk
3-5-2010