WisFaq!

Bewegingsvergelijking, baan P met een sinusfunctie

Gegeven: Punt P { x = sin(t)
y = sin(2t) met o t 2p

Bij de baan P hoort
de formule y² = 4x²-4x⁴ met -1x1
Toon dit aan.

Ik was al zover gekomen dat je de x en de y moest invullen en hiervoor krijg je:
sin(2t)² = 4sin(t)²- 4sin(t)⁴.
Nou zie ik in het antwoordboek de volgende stap staan:
Dat het 2sin(t)cos(t)² = 4sin(t)²(1-sin(t)² wordt.
Alleen ik zou echt helemaal niet weten hoe ze daarbij zijn gekomen..
Ik dacht al de verdubeblingsformule 1-2sinA² = cos 2A of met een andere maar ik kom er echt niet uit..
Zou iemand mij kunnen helpen?

Dje
7-4-2010

Antwoord

Je vervangt in de (te bewijzen!) formule de variabele x door sin(t) en de variabele y door sin(2t).
Dan zou de formule sin²(2t) = 4sin²(t) - 4sin⁴(t) voor elke waarde van t moeten kloppen. De taak is nu om dit met gebruikmaken van goniometrische formules, waar te maken.
Links van het isgelijk-teken zie je achter de sinus het argument 2t staan, maar rechts is alles gereduceerd tot t. Dat geeft je hopelijk het idee om van sin(2t) eerst maar eens over te gaan op 2sin(t)cos(t).
Omdat er sprake is van y kwadraat, zul je deze uitdrukking dus ook moeten kwadrateren. Dat levert 4sin²(x)cos²(x) op.
Nu moet je nog van de factor cos²(x) zien af te komen, want aan de rechterkant van de formule die je probeert te bewijzen, staat helemaal geen cosinus. Met cos²(x) = 1 - sin²(x) lukt dat.
Nu nog even uitwerken, et voilą!
De toevoeging -1x1 heeft te maken met het feit dat als je x = sin(t) stelt, de x automatisch begrensd is van - 1 tot 1 omdat de sinus nu eenmaal niet meer bereikt dan het interval [-1,1].

MBL
7-4-2010