WisFaq!

Sobolev ruimte

Beste wisfaq,

Als n=1 en u in de ruimte W^(1,p)(0,1) voor een zekere 1=poneindig, dan is u bijna overal (b.o.) gelijk aan aan absolute continue functie, en u' bestaat b.o. and zit in L^(p)(0,1).

Ik heb enkele vragen over het bewijs van de bovenstaande uitspraak. Ik gebruik voor het gemak de volgende afkortingen:
W=W^(1,p)(0,1)
L=L^(p)(0,1).
C=C^{oneindig}_{c}((0,1))

Bewijs
1. Omdat u in W, bestaat er dus per definitie een zekere functie v in L zodat

INT[d*(Df)]dx=-INT[v*f]dx, voor ieder f in C, de intgralen gaan over het interval (0,1).

De functie v zit in L dus volgens de ongelijkheid van Hölder geldt
||v|| = ||v||_L^p ||v||_L^1 oneindig, dus v in L^(1)(0,1).

2.Dus, kunnen we nu een functie g definieren op (0,1) met de volgende formule

g(x)=u(1/2)+INT[v(t)]dt, voor ieder x in (0,1), de integraal loopt van 1/2 tot x.

vraag1. Hoe is de functie g geconstrueerd?

Volgens de Hoofstelling van de integraalrekening, geldt dat f absoluut continu is.

3. Nu tonen we aan dat u=g b.o.

Door de definitie van g, hebben we dat g'=v b.o.

vraag2. Waarom is dit het geval?

Dus voor iedere f in C krijgen we

INT[g*Df]dx=-INT[g'*f]dx=-INT[v*f]dx, alle integralen over (0,1).

Daarom geldt

(*)INT[(g-u)*Df]dx=0 voor ieder f in C,

wat betekent dat u=g+constante.

vraag3.Hoe toon je correct wiskundig aan dat uit (*) volgt dat u=g+contstante?

4. Er geldt dat u(1/2)=g(1/2), en hieruit voldt dat u=g b.o..

vraag4. Waarom is u(1/2)=g(1/2)? En hoe volgdt nu dat u=g b.o.?

5. Dus u' bestaat b.o. en voldoet aan u'=v b.o..

vraag5. Hoe volgt deze conclusie uit bovestaande gegevens?

Vriendelijke groeten,

Viky

Viky
7-4-2010

Antwoord

antwoord 1: g is geconstrueerd in de regel boven je vraag. Voor iedere x reken je g(x) uit door v van 1/2 tot x te integreren en het resultaat bij u(1/2) op te tellen.
antwoord 2: dat is in feite een stelling van Lebesgue over integralen van L¹-functies
antwoord 3: de functionaal die f in C afbeeld op de integraal van f over (0,1) is begrensd en de kern wordt gevormd door alle functies van de vorm Df; het ortogonale complement (in L²) van die kern bestaat uit all constante functies en g-u behoort daartoe, dus er is een getal, zeg a, zo dat g-u bijna overal gelijk is aan die waarde.
antwoord 4: vul 1/2 in de definitie van g in! de integraal van 1/2 tot 1/2 is nul. g-u is bijna overal gelijk aan a en uit de gegevens volgt dat |g(x)-u(x)|=2||v||*|x-1/2| en dus |a|=2||v||*|x-1/2| voor bijna alle x, maar dat betekent a=0.
antwoord 5: combineer alles: u=g bijna overal, g'=v bijna overal, dus u'=v bijna overal.

kphart
9-4-2010