WisFaq!

Impliceren ´veel´ oplossingen een monochromatische?

Stel f(x) is een functie die naar oneindig gaat.
Stel dat we een vergelijking hebben die meer dan m*f(m) oplossingen in de natuurlijke getallen heeft m. Stel we kleuren met r kleuren. Bestaat er noodzakelijk een monochromatische oplossing?

Voorbeeld:
We bekijken de vergelijking a + b = c. Voor elke keuze van c is het aantal oplossingen in , gelijk aan c-1 (mits we (2, 3, 5) verschillend achten van (3, 2, 5)). Dus het aantal oplossingen m is gelijk aan: å(i-1), waar i van 1 naar m gaat, = m(m-1)/2. En omdat (m-1)/2 naar oneindig gaat als m naar oneindig gaat, is aan de voorwaarde van de vraag voldaan; moet dus gelden dat we een oplossing voor onze vergelijking krijgen, waarbij a, b en c allen dezelfde kleur hebben, als we met een r aantal kleuren kleuren?

Met vriendelijke groet

Wouter
1-4-2010

Antwoord

Ik vermoed dat zo'n algemene stelling niet waar is; in het voorbeeld dat je noemt (de stelling van Schur) is de functie f lineair, namelijk f(m)=(m-1)/2, maar bij r kleuren is een zekere bovengrens voor een monochrome oplossing gelijk aan het product ven e en r! en dat groeit veel sneller dan de f.

Zie Het originele artikel van Schur [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=249166]

kphart
3-4-2010