WisFaq!

Meetkundige reeks

Een opgave uit eindexamen HBS in 1957. Gegeven: van een meetkundige reeks is de eerste term x²-3x-4 en de reden (2x+3)^-1.
a) Voor welke waarden van x zijn alle termen positief?
Antwoord: Stel er zijn 'n' termen, dan t(n)=(x-4)(x+1){1/(2x+3)}^n-1 ('n' element N(+)) Uit de getallenlijn voor deze drie termen blijkt mij: voor x$>$4
b) Voor welke waarden van x is de reeks convergent? Bij de beantwoording van deze vraag moet de onder a) vermelde voorwaarde buiten beschouwing worden gelaten.
Antwoord: Als |r|$<$1, is de meetkundige reeks convergent; zodat:|[1/(2x+3)]$<$1. Ik vind: -2$>$x$>$-1
c)Druk voor de waarden van x waarvoor de reeks convergent is, de som s(x) van de reeks in x uit. Schets voor deze waarden van x de grafiek van s(x). Nu bevind ik mij op glad ijs, want mijn opleiding ging destijds niet verder dan MULO-B. M.b.v. internet vind ik: s(x)= [a/(1-r)]=
[(x-4)(x+1)/{1-{1/(2x+3)}^n-1. Maar verder zie ik het niet zitten. Wie kan dit verder voor mij oplossen? Bij voorbaat hartelijk dank.

Johan uit de Bos
30-3-2010

Antwoord

Hallo, Johan.

a) Alle termen zijn positief dan en slechts dan als zowel de eerste term als de reden positief zijn, ongeacht het aantal termen.
Uit x²-3x-4 = (x-4)(x+1) 0 volgt x-1 òf x4. Maak deze twee delen van de getallenlijn rood.
Uit 1/(2x+3) 0 volgt x-3/2. Maak dit deel van de getallenlijn blauw.
De waarden van x die aan beide voorwaarden voldoen, moeten paars gekleurd zijn (want rood+blauw=paars).
Er volgt -3/2 x -1 òf x 4.

b) U bent goed begonnen, maar eindigt verkeerd.
| 1/(2x+3) | 1 dan en slechts dan als | 2x+3 | 1, dus dan en slechts dan als 2x+3 1 òf 2x+3 -1.
De eerste ongelijkheid heeft oplossing x -1, de tweede x -2.
Totale oplossing: x -1 òf x -2.

c) Het gaat blijkbaar om een oneindige meetkundige reeks. U begint goed, maar de exponent (n-1) hoort er niet bij.
Dus s(x) = a/(1-r) = (x-4)(x+1)/(1- 1/(2x+3)).
Vermenigvuldig nu teller en noemer met 2x+3.
Er komt dan (x-4)(x+1)(2x+3)/(2x+3-1) = (x-4)(2x+3)/2 = (x-4)(x+3/2).
De grafiek is van deze functie is een dalparabool die de x-as snijdt in (4,0) en (-3/2,0).
De top heeft dan x-coördinaat (4 - 3/2)/2 = 5/4, en y-coördinaat -121/16.
Schets deze parabool met potlood.
Let op: je moet een deel van de parabool hebben, namelijk het deel met x -1 òf x -2. Kleur deze twee delen van de parabool groen, en gum de rest weg.

hr
30-3-2010