WisFaq!

Differentierbaarheid

Als ik het goed begrijp, wordt onder differentieerbaarheid bedoeld de mogelijkheid tot het bepalen van de hoek die de raaklijn aan die functie maakt, te bepalen. Mijn probleem is nu het oplossen van het volgendevraagstuk: onderzoek de differentieerbaarheid van de volgende functie in x=0; maak daarbij gebruik van lim delta x->0 delta f(x)/delta x in x=0 en gebruik f(0)=0. De functie waar het om gaat is f(x)->x.x.sin(1/x).

M. Prick
29-12-2002

Antwoord

Een functie heet differentieerbaar in x = a als de limiet van het quotiënt [f(x) - f(a)]/(x - a) wanneer x tot a nadert bestaat.
Toegespitst op a = 0 wordt dit dan:
de limiet van het quotiënt [f(x) - f(0)]/(x - 0) moet bestaan als x tot 0 nadert.
Omdat gegeven is dat f(0) = 0, wordt nu dus gevraagd of de limiet van f(x)/x bestaat als x ® 0.

Er geldt in dit geval f(x)/x = x.sin(1/x)

Nu geldt -x x.sin(1/x) x (vanwege de begrensdheid van de sinusfunctie tot het interval [-1,1]), en als nu x tot 0 nadert, dan naderen zowel -x als x tot 0 en dus nadert x.sin(1/x) óók tot 0 (de insluitingsstelling).

Grafisch gesproken komt het er op neer dat de grafiek van de functie f(x) = x.sin(1/x) aan de onder en bovenkant wordt begrensd door de rechte lijnen y = x en y = -x. Deze lijnen gaan beide door de oorsprong en dús wordt de grafiek van f óók gedwongen door de oorsprong te gaan. Teken de situatie maar eens op een grafische rekenmachine.
De conclusie luidt in ieder geval: omdat de beschreven limiet bestaat met waarde 0 is de gegeven functie in x = 0 differentieerbaar.

NB. in de openingszin van de vraag spreek je over de "raaklijn aan een functie". Dit zou moeten zijn: "aan de grafiek van de functie". Een enigszins exact taalgebruik is in dit vak absoluut nodig.

MBL
1-1-2003