WisFaq!

Een periodieke beweging

Goedemiddag! Ik loop vast bij een opgave.

De baan van een punt P(x,y) in een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:

x=4-2cost
y=(sint+1)(sint+3)

Waarin t waarden uit het interval [-p,p] aanneemt.

Er zijn punten op de kromme die dezelfde x-waarde hebben en waarvan de y-waarden precies 6 verschillen. Bereken elk tweetal punten waarvoor dit het geval is.

Zou iemand mij even een duwtje in de goede richting kunnen geven, want ik weet niet waar ik moet beginnen. Verdere berekeningen wil ik uiteraard zelf doen, alleen wat moet ik gebruiken? Ik snap dat er een bepaalde t waarden zijn die dezelfde x-waarden hebben, maar waarbij y1-y2=6
En t neemt 2 dezelfde x-waarden aan voor alle t en 2p-t op [-p,p] behalve t=-p , t=0 en t=p , aangezien die maar 1 x-waarde hebben.

Hoop dat iemand mij kan vertellen hoe ik hiermee begin.

Bvd

Kian
25-3-2010

Antwoord

Als we de tijdstippen die bij de punten horen, aanduiden met a en b, dan is in elk geval 4 - 2cos(a) = 4 - 2cos(b) zodat cos(a) = cos(b).
Dit leidt tot a = b + k.2p of a = -b + k.2p.
Het geval a = b leidt tot twee dezelfde punten en dan is de verticale afstand natuurlijk niet 6.
Blijft over a = -b hetgeen betekent dat de tijdstippen tegengesteld zijn.
De y-coördinaten die bij a en b = -a horen zijn resp.
(sin(a)+1)(sin(a)+3) en (sin(-a)+1)(sin(-a)+3).
Maak nu gebruik van sin(-a) = -sin(a) en werk het (absolute) verschil van de twee afstanden daarmee eens uit.
Het leidt tot 8sin(a) = 6 of 8sin(a) = -6
Daarmee weet je ook cos(a) via sin²(a) + cos²(a) = 1 zodat de x-coördinaat bekend is. De y weet je ook want met bijv. sin(a) = 3/4 kun je gemakkelijk (sin(a) + 1)(sin(a) + 3) uitrekenen.

MBL
25-3-2010