WisFaq!

Oppervlakte- integraal

Goede avond,
Een vraag gesteld op het toenmalig ingangsexamen Burgelijk Ingenier in Leuven KUL.

Een Parabool :f(x)=K(1-x²) met K0 en 0x1 is gegeven.
Bereken voor een gegeven waarde a (op de X-as gelegen, tussen 0 en 1), de oppervlakte die als volgt wordt weergegeven.

De y waarde van a is dan 1-a².
Door dit punt p(a;1-a²) trek ik een rechte naar de oorsprong en een ander rechte naar de x-as met Co= (1,0).
De snijpunten van de parabool zijn (0,K) op de y-as en (1,0) op de X-as. De te berekenen oppervlakte is deze van het eerste kwadrant tussen de Parabool en de x-as tussen de grenzen 0 en 1 op de X-as . Hiervan moet dan de driehoek , door de oorpsrong, het punt(a,1-a²) en het punt (1,0)worden afgetrokken .
Ook moet a en 1-a² berekend worden.
Ik kom voor de oppervlakte tussen de oorsprong en het punt p(a,1-a²) een opp. uit gelijk aan:
(7a³-3a)/6 uit en het andere smalle boogje op
(-a³-6a²+13)/6
Kan dit en hoe bereken ik nu P(a,1-a²) ?
Lijkt me niet zo simpel. een flinke duw heb ik hier wel nodig, denk ik..Ik kan geen apllet maken daaromtrent.Dat is spijtig. Ken de werkwijze er nier van....t
Groeten en bedankt op voorhand.

Rik Lemmens
23-3-2010

Antwoord

De oppervlakte tussen de assen en onder de parabool vind je door de gegeven functie te integreren met 0 en 1 als grenzen. De primitieve is F(x) = K(x - ¹/₃x³) en invullen van de grenzen levert op (2/3)K.
De driehoek heeft oppervlakte ¹/₂K(1-a²).
De restoppervlakte is dan gelijk aan (2/3)K - ¹/₂K(1-a²) = (1/6)K + ¹/₂Ka².
En dan houdt het volgens mij op, want er wordt nergens een vraag gesteld. Is het soms de bedoeling dat de driehoek even groot is als de restoppervlakte of moeten de twee gebieden tussen parabool en driehoek even groot worden?
Overigens zijn je berekeningen niet correct omdat je de coördinaten van P niet goed hebt. Je laat namelijk de factor K weg en uiteraard heeft dat invloed.
Afijn, we horen wel wat de bedoelingen zoal zijn.

MBL
24-3-2010