WisFaq!

Logaritmische Integraal

hallo

ik ben nu bezig met de priemgetal-telfunctie, genoteerd als p(x). hierbij heeft p niks te maken met het getal p3,14. deze functie telt alle priemgetallen kleiner of gelijk aan x. Wiskundige Carl Friedrich Gauss probeerde deze functie te benaderen met een eenvoudige formule, en hij ondekte dat:

(p(x+a)-p(x))/a1/ln x.

ik heb dit getest en het klopt ongeveer.
maar nu, ze zeggen dat als dit klopt dat dan:

p(x)2òx t/ln t·d

ik begrijp niet dat je via de ene formule de 2 als conclusie kan nemen en begrijp ook niet dat het iets met een intergraal te maken heeft, zou iemand dit aan mij willen uitleggen.

met vriendelijke groet

Jelmer Nieuwendijk
19-3-2010

Antwoord

In de eerste formule staat links een differentiequotiënt en dat benadert de afgeleide van de functie p, maar dat betekent dan dat p bij benadering een primitieve van de rechterkant is. De integraal in de tweede formule is een primitieve van 1/ln x en de beste die bij p past.
Ik neem overigens aan dat je 1/ln t dt bedoelt.

Zie Wolfram: Prime Number Theorem [http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html]

kphart
1-4-2010