WisFaq!

Faculteit van getallen met decimalen

hallo

ik kwam een keer tegen dat je een faculteit in principe alleen kunt nemen op een heel getal. maar dat het via een integraal ook mogelijk is op getallen met decimalen.
ik probeerde dit eens met de reken machine van google, en het blijkt te kloppen, want bijvoorbeeld:
0,5 ! = 0,886226925
0,8 ! = 0,931383771
4,6 ! = 61,553915

hoe kun je nauw een faculteit nemen van een getal met decimalen? en heeft dit meschien iets te maken met de gammafunctie of de formule van Stirling. in ieder geval zal ik het graag willen weten.

met vriendelijke groet

Jelmer Nieuwendijk
16-3-2010

Antwoord

Beste Jelmer,

De 'gewone' faculteit bestaat inderdaad enkel voor natuurlijk getallen waarbij n! = n.(n-1)! met 0! = 1. Zo is bijvoorbeeld 3! = 3.2.1 = 6.

De Gammafunctie is een functie die je met een integraal kan schrijven en die gedefinieerd is voor elk reëel getal, behalve voor de negatieve gehele getallen.
Voor de natuurlijke getallen, valt de Gammafunctie samen met de faculteit, op een verschuiving na. Er geldt namelijk $\Gamma$(n) = (n-1)! waarbij $\Gamma$ de Gammafunctie is. Zo is bijvoorbeeld 3! = $\Gamma$(4) = 6.

Je kan de Gammafunctie dus zien als een manier om de faculteit uit te breiden naar niet-natuurlijke getallen. Meestal kan je het exacte antwoord niet zomaar zonder integraal schrijven, maar kan je het wel benaderen.
Soms is het wel mogelijk om het antwoord zonder integraal te schrijven, zo is bijvoorbeeld $\Gamma$¹/₂, dit komt 'overeen' met (-1/2)!, gelijk aan √$\pi$; toch mooi...

mvg,
Tom

td
16-3-2010