WisFaq!

Kansen met teruglegging

Ik heb de volgende opgave en kom niet uit het antwoord (althans, niet waarom het antwoord zo is).

Er zijn 10 cijfers (0-9). Wat is de kans dat bij het selecteren van 4 cijfers uit die 10 (met herhalingsmogelijkheid- of terugleg). dat er hoogstens 2 gelijk zijn?

Mijn idee:
Of 4 ongelijk (9*8*7 = 504/10000)
Of 2 gelijk en 2 ongelijk (XXYZ)
Of 2 gelijk en 2 gelijk (XXYY)
Deze kansen optellen.

Nu kom ik niet uit de laatste 2.

Mijn idee is:
10 * 9 * 8 (geeft XYZ) en dan nog de verschillende mogelijkheden qua volgorde): 4!/2 = 12
Dat geeft: 8640/10000 (maar dat kan al niet).
N veel puzzelen blijkt die 12 - 6 te moeten zijn -
4320/10000
4 boven 2? Maar dat begrijp ik niet.

Tot slot nog de XXYY:
10*9 en dan de volgordes:
Mijn idee: 4!/(2!2!) = 6.
Levert op: 540.
Dit blijkt niet goed te zijn, want moet ook de helft zijn:
270/10000.

Het juiste antwoord blijkt namelijk te moeten zijn (ik haal de overbodige 0 weg):

504/1000 + 432/1000 + 27/1000 = 963/1000
(Althans: het laatste weet ik (het antwoord) en het eerdere vermoed ik dan.).

Als iemand mij uit kan leggen hoe en waarom dit werkt, graag!

Marcel Scheele
13-3-2010

Antwoord

Bij dit soort opgaven loont het de moeite om te kijken wat de makkelijkste methode is. Zoals je al ziet leidt jouw oplossing tot wat veel uitsplitsingen waarbij je vrij snel tegen een foutje oploopt.
Eenvoudiger is: P(hoogstens 2 gelijk)=1-P(4 gelijk)-P(3 gelijk):
P(4 gelijk)= 10/10000
P(3 gelijk)= (4×10×9)/10000 (die 4 voor de posities waar het losse cijfer kan staan)

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
14-3-2010