WisFaq!

Convergentie van Fourierreeksen

Beste wisfaq,

Ik heb een vraag over Fourieranalyse.

Zij f een periodieke functie, en f is k maal differentieerbaar (f in C^k). Ik wil bewijzen dat de Fourierreeks fⁿ van f voldoet aan

fⁿ=0(1/(|n|^k)), (kleine o notatie)

ofwel, (|n|^k)·fⁿ-0 als |n|-oneindig.

Ik begrijp niet hoe ik dit moet bewijzen. Een hint is dat je de Riemann-Lebesgue lemma kan gebruiken.

Lemma. Als g Riemann integreerbaar op de cikel dan
g⁽ⁿ⁾<-0 als |n|-oneindig.

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
9-3-2010

Antwoord

Het idee is door middel van partiële integratie de coëfficiënten van f te relateren aan die van f' en f'' en ... en f^(k) (k-de afgeleide).
Voor de `gewone' Fouriercoëfficiënten (op het interval [-p,p]) komt er bijvoorbeeld int(f(x)*exp(-inx),x=-p..p) = (f(p)exp(-inp)-f(-p)exp(inp))/(-in) - int(f'(x)*exp(-inx),x=-p..p)/(-in).
Dus de n-de coëfficiënt van f is gelijk aan (-in) maal de n-de coëfficiënt van f'. Pas het Riemann-Lebesgue lemma toe op f' en je hebt het geval k=1 bewezen.
De rest gaat net zo.

kphart
10-3-2010