WisFaq!

Homomorfisme

Hoi Wisfaq,
ik moet laten zien dat een afbeelding G-G gegeven door x-x^2 een homomorfisme is dan en slechts dan als G abels is.

Als ik het goed begrijp moeten we 2 kanten op bewijzen:
-G is abels, dan is het een homomorfisme want:
f(xy)=(xy)^2=xyxy=xxyy dus f(x)f(y)
-G is homomorfisme, dan is het abels want:
omdat homomorfisme gegeven is geldt er
f(xy)=f(x)f(y)
f(xy)=(xy)^2=xyxy
f(x)f(y)=x^2y^2=xxyy
Aantonen dat xyxy=xxyy abels is
rechterkant vermenigvuldigen met x^-1 en linkerkant met y^-1
yx=xy dus abels
klopt dit alles?

bedankt!

Jip
9-3-2010

Antwoord

Het lijkt me helemaal in orde. Alleen in het allerlaatste stukje schrijf je naar mijn idee iets vreemds op.
Je wilt aantonen dat xyxy = xxyy abels is. Het predikaat 'abels' slaat echter niet op een individueel produkt, maar op de hele groep.
Je zou m.i. dan ook moeten schrijven: er moet worden aangetoond dat xyxy = xxyy.
Na de vermenigvuldiging met x^-1 resp. y^-1 staat er
yx = xy.
Daarmee is het abelse karakter van de groep aangetoond.

MBL
9-3-2010