WisFaq!

Het verjaardagsprobleem

Wat is de kans dat in een willekeurig gevormde groep van m personen, twee of meer personen op dezelfde dag jarig zijn?
Dit weet ik:
365 · 364 · 363· ……..· (365 - m + 1)/365^m

Maar hoe bereken ik de kans dat er 3 mensen of meer op dezelfde dag jarig zijn?

henri beer
17-2-2010

Antwoord

Verjaardagsproblemen kunnen aardig lastig zijn. Benaderen met de Poissonverdeling blijkt in de praktijk erg goed te gaan. In dit geval (met 3 personen op dezelfde dag jarig) moet dat zeker gaan.

Er zijn $
\left( {\matrix{
m \cr
3 \cr

} } \right)
$ mogelijkheden om 3 personen te kiezen uit een groep van m personen. De kans dat deze 3 personen op dezelfde dag jarig zijn is (bij benadering!) gelijk aan $
{1 \over {365^2 }}
$. Dus:

$
\eqalign{\lambda = {1 \over {365^2 }} \cdot \left( {\matrix{
m \cr
3 \cr

} } \right) = {{m(m - 1)(m - 2)} \over {{\rm{799350}}}}}
$

Voorbeeld
Neem een groep van 40 personen, dan is m=40.

$
\eqalign{
& \lambda \approx {\rm{0}}{\rm{,074}} \cr
& P(X = k) = e^{ - {\rm{0}}{\rm{,074}}} \cdot {{{\rm{0}}{\rm{,074}}^k } \over {k!}} \cr}
$

Dus: $
P(X = 0) = e^{ - 0,074} \approx {\rm{0}}{\rm{,929}}
$

De kans dat er 3 of meer mensen op dezelfde dag jarig zijn is ongeveer gelijk aan 0,071.

Hopelijk helpt dat.

WvR
18-2-2010