WisFaq!

Derdegraadsvergelijkingen zonder Cardano

Ik ben op zoek naar alle mogelijke manieren om derdegraadsvergelijkingen op te lossen, Cardano ken ik al

Op wikipedia heb ik iets gelezen over een trigoniometrische manier om derdegraadsvergelijkingen op te lossen.

"In dat geval biedt de door Viète bedachte trigonometrische methode een alternatief. Daarbij substitueert men..."
Wikipedia

Als iemand hier nog ietsover weet?

Greetz

jD
16-2-2010

Antwoord

De methode van Viète zit in die van Cardano opgesloten: je kunt -p/(3v) omschrijven tot ³√(-q/2 - √(D)), waarbij D de discriminant q²/4+p³/27 is. Als D$<$0 dan staan in de derdemachtswortels de complexe getallen -q/2+i√(-D) en -q/2-i√(-D); die kunnen we in modulus-argumentvorm schrijven: respectievelijk r(cos($\theta$)+i·sin($\theta$)) en r(cos($\theta$)-i·sin($\theta$)). Die derdemachtswortels zijn dan ³√(r)(cos($\theta$/3)+i·sin($\theta$/3)) en ³√(r)(cos($\theta$/3)-i·sin($\theta$/3)) en bij elkaar opgeteld leveren die 2³√(r)cos($\theta$/3) (de $\theta$/3 is de t die op de Wikipediapagina wordt gebruikt). Elk complex getal heeft natuurlijk drie derdemachtswortels en dat zou ons dan 3x₃=9 oplossingen opleveren maar dankzij de eis 3uv+p=0 blijven maar drie van die combinaties over.
De formules van Tartaglia-Cardano werken dus altijd, je kunt cos($\theta$/3) als volgt in p en q uitdrukken: cos($\theta$)=-q/(2r) (waarbij r=√(q²/4-D)); dus $\theta$=arccos(-q/(2r)) en daarmee volgt cos($\theta$/3)=cos(1/3·arccos(-q/(2r))). Als de hoek $\theta$ niet een `mooie' hoek is dan is dit het beste dat je kunt doen.

Zie Wikipedia: Casus irreducibilis [http://nl.wikipedia.org/wiki/Derdegraadsvergelijking#Casus_irreducibilis]

kphart
4-3-2010