WisFaq!

Bepaal de verschillende asymptoten

de oefening is als volgt :
Bereken a,b,c als je weet dat de rechte met vergelijking y=2x+1 een schuine asymptoot is van de kromme met vergelijking y = (ax²-4x+3)/ (bx²-2x+c)
En zijn er nog andere asymptoten?

Hoe pak ik dit op?

ik dacht eerst beide vergelijkingen toz elkaar te zetten, zijnde :
dus 2x+1=(ax²-4x+3)/ (bx²-2x+c)
(2x+1)*(bx²-2x+c)=(ax²-4x+3)
2bx³-4x²+2xc+bx²-2x+c = ax²-4x+3
maar dan blijf ik met teveel onbekenden zitten.

Kan je mij hierbij helpen ?

luc laermans
7-2-2010

Antwoord

Daar er een scheve asymptoot moet zijn, zullen teller en noemer niet beide van de zelfde graad zijn. Nadert x namelijk (±)oneindig, dan nadert de breuk tot het vaste getal a/b en dat impliceert een HA.
Voor b = 0 en a ¹ 0, kan het wel lukken.
De rc van een SA kun je o.a. vinden door te kijken wat de breuk f(x)/x doet als x naar oneindig gaat.
Controleer dat f(x)/x tot -¹/₂a nadert en uit -¹/₂a = 2 volgt a = -4.
Daarmee is de functie min of meer gereconstrueerd.
Nu moet de grafiek van f(x) = (-4x² - 4x + 3)/(-2x + c) 'op den duur' steeds dichter in de buurt van de lijn y = 2x + 1 komen.
Anders gezegd: als x naar oneindig gaat, dan moet het verschil van
f(x) en (2x+1) tot 0 naderen, ofwel f(x) - 2x nadert tot 1.
Controleer dat het verschil f(x) - 2x tot 2 + c nadert en uit 2 + c = 1 volgt dan c = -1.
Het zou dus gaan om de functie f(x) = (-4x² - 4x + 3)/(-2x - 1).

Omdat er al een SA is, is er (in dit geval!) geen HA meer. Er is nog wel een VA, maar als je een grafiek laat ontwerpen door de GR ,dan zie je die direct zitten.

MBL
7-2-2010