WisFaq!

Sinus, cosinus en tangens

Hallo,

ik moet de volgende dingen aantonen:

1) sin -x = - sin x
2) cos -x = cos x
3) tan -x = tan x (waar niet?)

Hoe pak ik dit aan?

Bedankt!

Eileen
29-1-2010

Antwoord

Het hangt er vanaf met welke aanpak je het wilt laten zien.
Wanneer je de grafiek van de sinusfunctie of de cosinusfunctie bekijkt (machine op radialen!), dan zie je het gewoon kloppen. De eerstgenoemde grafiek is (punt)symmetrisch t.o.v. de oorsprong en de tweede is (lijn)symmetrisch t.o.v. de y-as.

Het kan ook als volgt: de sinus is de tweede coördinaat van een punt dat zich beweegt langs de eenheidscirkel. Na een draaiing over x radialen (gerekend vanaf de positieve x-as) bevindt het punt zich 'ergens' op de cirkel. Laten we dat punt P noemen. De tweede coördinaat van P is nu per definitie gelijk aan sin(x).
Bij een draaiing over -x radialen vanuit de beginstand bevindt het punt zich in een punt Q dat gespiegeld in de x-as t.o.v. P ligt.
De tweede coördinaat van Q is nu per definitie sin(-x).
Omdat P en Q gespiegeld in de x-as liggen is de tweede coördinaat van Q tegengesteld aan die van P en dus is sin(-x) = -sin(x)

Voor de cosinus doe je exact hetzelfde (en P en Q liggen even ver verwijderd van de y-as en hebben dus dezelfde eerste coördinaat) en wat de tangens betreft, merk op dat tan(-x) = sin(-x)/cos(-x) en gebruik dan de vorige resultaten.

MBL
30-1-2010