WisFaq!

De tafel van negen

Beste Wisfaq, ongetwijfeld kent u het verhaaltje:

Neem een getal n uit de verzameling 1,2,3...9. Vermenigvuldig die door 3. En tel daar weer 3 bij op. En doe nogmaals maal 3. Nu krijg je een getal dat bestaat uit twee cijfers. Tel die cijfers bij elkaar op. Bijvoorbeeld 28 = 2 + 8 = 10.

Hier zal altijd negen uitkomen. Dat komt door de volgende relatie:

9n + 9 - 9*floor((9n+9)/10) = 9 [floor = Entier], oftewel:

n = floor((9n+9)/10)

Anders geformuleerd: de som van de twee cijfers in de tafel van negen sommeert altijd tot negen, uitgezonderd van negen zelf (dus 18,27,36,...,81,90).

Om dit algebratisch aan te tonen lijkt me lastig, omdat de verzameling van de getallen die je kan gebruiken voor n vrij beperkt is. Maar wat zit hier nou precies achter, of is dit gewoon geluk dat dit zo is? Kan je dit verhaaltje ook met een andere tafel uithalen?

Bvd!

Bilell
11-1-2010

Antwoord

Voor elk cijfer dat deelbaar is door 9, geldt dat de som van de cijfers ook deelbaar is door negen.
Bijvoorbeeld 493074 is deelbaar door 9, ook de som van die cijfers, 27, is deelbaar door 9.

Dat is eenvoudiger te bewijzen dan je denkt, stel ik neem 261, dat schrijf je als
261=2·100+6·10+1
Als je nu deelt door 9, dan volgt
261/9=2·100/9+6·10/9+1/9
In het algemeen levert 10^p/9 altijd rest 1 op, dus
Dus de rest bij deling van 261/9 ook wel 261 mod 9 = 2 + 6 + 1 = 9

Je zult begrijpen dat je dit bewijs kunt generaliseren naar alle getallen.

Dit is natuurlijk geen toeval of geluk. Bij getallen deelbaar door 3 zie je iets soortgelijks. Ook kun je eenvoudig zien of een getal deelbaar is door 11, dan moet je de cijfers van het getal afwisselend optellen en aftrekken. Succes!

Bernhard
16-1-2010