WisFaq!

Het bewijzen van een bepaalde bijzondere eigenschap van derdegraadsfunctie

Ondanks er al eerder vragen gesteld over dit onderwerp in Wisfaq is het mij nog steeds niet duidelijk.

Ik maak een PO over over het feit dat als je de raaklijn neemt van het punt wat tussen 2 van de nulpunten ligt, die raaklijn door het derde nulpunt loopt. Ik dien dit verschijnsel te bewijzen met behulp van de functie:
F(x)=a(x-b)(x-c)(x-d).

De vraag is weliswaar letterlijk gesteld, maar het is mij alles behalve duidelijk.

Er is op deze vraag geantwoord:

De raaklijn in het punt (a+b)/2 is gelijk aan:



Nu moet je laten zien dat bij bovenstaande uitdrukking L(c)=0. Dat is nog wel een heel gedoe, maar 't is vooral een kwestie van invullen en netjes verder uitwerken:



met als toevoeging in een andere vraag:

Als f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d),dan is f'(x)=a(x-c)(x-d)+a(x-b)(x-d)+a(x-b)(x-c). Kies een punt tussen b en c,zeg x(0). De vergelijking van de raaklijn door (x(0),f(x(0)))aan de kromme is y=f(x(0))+f'(x(0))(x-x(0)). Neem x=d in deze vergelijking en laat zien dat y=0 voor x(0)=(b+c)/2.

Ik begrijp dat na uitwerking je L(x) = ((a²-2ab+b²)(c-x))/4 krijgt (hoe je dit krijgt weet ik ook niet, maar ik begrijp dat jullie niet alles voorzeggen).

Maar wat moet ik vervolgens met dat antwoord doen? Gelijk stellen aan nul? Ik begrijp er werkelijk niets van.

Ruud
6-1-2010

Antwoord

De vraag was:

"De functie f(x)=(x-a)(x-b)(x-c) heeft 3 nulpunten op x=a, x=b en x=c met daarbij a is niet gelijk aan b, is niet gelijk aan c. laat zien dat een getekende raaklijn op het gemiddelde van de twee nulpunten a en b de grafiek f(x) snijdt bij het derde nulpunt."
Differentieren van een functie met drie nulpunten

Met de laatste uitdrukking heb je aangetoond dat de x=c een nulpunt is van die raaklijn. Dat wil zeggen dat L(x)=0 voor x=c. Dat was de opdracht!

Nog anders geformuleerd: de raaklijn aan de grafiek door ((a+b)/2,f((a+b)/2)) gaat door het punt (c,0).

PS
Het is handiger om te reageren (op vragen) dan (vragen) te citeren!

WvR
6-1-2010