WisFaq!

Vergelijking met een z

Beste Wiskundige,

ik zit met de volgende 2 sommen over complexe getallen. Deze sommen bevatten een z

z⁴ = -4
z⁶ - 1 = 0 -® z⁶ = 1

bij de eerste opgave heb ik het volgende opgeschreven:
z⁴ = 4 (vanwege de absolute waarde). z = 4de machts wortel van 4 = wortel 2

Maar hoe ik hier nu precies bij kom weet ik zelf ook niet helaas....

Ik heb de volgende theorien bestudeerd: polar forms, De moivre, roots of complexe getallen, roots of unity

Wie kan mij een duw in de goede richting geven. Gelieve niet het antwoord voorkauwen

mitchell
6-1-2010

Antwoord

Gebruik modulus en argument (polar form): 4 heeft modulus 4 en argument 0.
Schrijf z=r¥e^iq (met 0=q2p; dan geldt z⁴=r⁴¥e^i4q. Dus r⁴=4 en 4q=0 (modulo 2p); dan wordt r inderdaad wortel(2) en voor q heb je dan vier mogelijkheden: 0, p/2, p, en 3p/2. Elk van die mogelijkheden geeft een oplossing van de vergelijking.
Bij je tweede vergelijking zoek je de zesdemachts eenheidswortels (sixth roots of unity); dat staat blijkbaar in je theorie.

kphart
6-1-2010