WisFaq!

Volume omwentelinglichaam

Wie helpt mij uit de brand?

De functie f(x)=(25-x²) wordt gewenteld om x-as tussen x=0 en x=4. Er ontstaat een bol. Nu moet ik het volume berekenen.

V=p·(25-x²)dx grenzen x=0 en x=4
V=p[25-x-1/3x³] grenzen x=0 en x=4
V=?

Jan
4-1-2010

Antwoord

Theorie
De inhoud van een omwentelingslichaam dat ontstaat door de grafiek van de functie f op het interval [a,b] om de x-as te wentelen:

$
\Large I = \pi \int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right)} \right)^2 } dx
$

In het geval van een (complete) bol kies je voor het interval [-5,5], zodat je zoiets krijgt als:

$
\eqalign{
& I = \pi \int\limits_{ - 5}^5 {\left( {\sqrt {25 - x^2 } } \right)^2 } dx \cr
& I = \pi \int\limits_{ - 5}^5 {\left( {25 - x^2 } \right)} \,dx \cr
& I = \pi \left[ {25x - {1 \over 3}x^3 } \right]_{ - 5}^5 \cr
& I = \pi \left( {25 \cdot 5 - {1 \over 3} \cdot 5^3 - \left\{ {25 \cdot - 5 - {1 \over 3} \cdot \left( { - 5} \right)^3 } \right\}} \right) \cr
& I = 166{2 \over 3}\pi \cr}
$

Hopelijk helpt dat...

WvR
4-1-2010