WisFaq!

Functies met parameters

Goedenacht

Ik krijg een opgave waarmee ik aardig in de knoop zit, en die luidt als volgt:

Voor elke waarde van p is de familie van functies f_p gegeven door het voorschrift:

f_p(x)=x³+2px²+px

a) Bewijs dat elke functie f_p ten hoogste 1 nulpunt heeft met een positieve waarde van x

Hoe ga ik hier te werk? Het lukt me niet om p uit te drukken in x (of andersom), want:

x³+2px²+px=0
x(x²+2px+p)=0
dus x= 0 $\angle$ x²+2px+p=0
hieruit volgt x=√(-2px-p) of p=-2px-x²
Hier schiet ik dus weinig mee op volgens mij.

Met de discriminant van x²+2px+p vind ik alleen D=(2p)²-4p
Voor D=0 (dus nog 1 nulpunt) geldt dat p=0 moet zijn, en voor D$<$0 (geen nulpunten) geldt dat 0$<$p$<$1. Voor de rest heeft hij altijd 2 nulpunten.
Dit is het enige wat ik hiermee kan. Ik weet niet of ik hiermee op de goede weg zit, maar ik zal hoogst waarschijnlijk iets over het hoofd zien, ik weet alleen niet wat?

De volgende vragen heb ik wel kunnen berekenen, alleen weet ik niet zeker of dit wel juist is, aangezien de antwoorden hetzelfde zijn.

b) Voor welke waarde van p heeft f_p precies 1 extreme waarde:

f'_p(x)=3x²+4px+p

Discriminant D=(4p)²-12p
16p²=12p
p=³/₄

Maar f_p met p=³/₄ heeft geen maximum of minimum, alleen een buigpunt. Dit valt toch niet onder een extreme waarde?

c) Voor welke waarden van p heeft f_p een buigpunt met daarin een horizontale lijn:

f''_p(x)=6x+4p
x=-²/₃p

-²/₃p invullen in f'_p(-²/₃p)=0 geeft p=³/₄

En bij deze functie f_p heeft het inderdaad een buigpunt met een horizontale raaklijn.

Goed, het gaat in ieder geval om vraag a, ik zou heel graag willen weten hoe ik daar te werk moet gaan. Het antwoord hoef ik niet te weten, die probeer ik zelf wel uit te werken, zodra ik weet op welke manier.

MvG

Kian
24-12-2009

Antwoord

Kijk eens, zonder de wortels van die kwadratische te bepalen, wat hun som en produkt zou moeten zijn en wat daaruit volgt over hun teken...

cl
25-12-2009