WisFaq!

Basis voor inproduct ruimte

Knt u me misschien helpen met het volgende:
Zij V de ruimte van alle oneindig vaak differentieerbare functies van [0, 1]
naar C met de eigenschap dat f(0) = f(1) = 0.
Verder kiezen we een lineaire deelruimte van V als zijnde alle polynomen
van graad drie of lager, waarvan de waarde in 0 en in 1 gelijk zijn aan nul.Construeer een basis van W
Ik gok {x(x-1),x^2(x-1)} is een basis, maar ik weet het niet zeker.

ha
22-12-2009

Antwoord

Jouw gok voldoet alvast aan de eis van lineaire onafhankelijkheid. Maar is die verzameling ook voortbrengend?

De extra voorwaarde impliceert deelbaarheid door x(x-1) als de graad twee of meer is, dus f(x)=(ax+b)x(x-1)=ax²(x-1)+bx(x-1) (a en b niet samen nul). En als de graad 1 of 0 is hebben we de nulveelterm, die sowieso in C zit en die met a=b=0 overeenkomt.

Allemaal samen lijkt het plaatje me dus perfect te kloppen...

cl
22-12-2009