WisFaq!

Re: Compactness van sets van een topological space X

Hoi,

Bedankt voor de snelle reactie! Sorry voor het gebruik van Engelse en Nederlandse termen door elkaar heen.

Ik begrijp dat de unie van open intervallen (1/n,1-1/n) met n = 2,3,.., je het open interval (0,1) geeft. Maar het open interval (1/n, 1-1/n) is een interval dat steeds groter wordt als je n groter neemt. Dus voor n=3 heb je
(1/3 , 2/3) en voor n=4 heb je (1/4, 3/4). Je kunt de unie nemen tussen al deze open intervallen maar je kunt toch ook gewoon maar één interval nemen uit de collectie met een zeer hoge n (dat wilde ik dus aangeven met n=¥). Als je n heel groot neemt dan is (1/n,1-1/n) bij benadering (0,1). En je kunt dit interval dus willekeurig nauwkeurig benaderen met een zeer grote n want 0 en 1 zijn geen elementen van interval (0,1). Neem dus uit de collectie open intervallen alleen die met de grootste n en je hebt toch een eindige subcover (sorry weet nederlandse woord hier niet voor) die gelijk is aan het interval (0,1)??

Misschien als je me kunt uitleggen waarom dezelfde open intervallen verzameling wel een eindige subcover hebben bij het interval [0,1] ik het wel snap..

nogmaals bedankt!

Roland

Roland
18-12-2009

Antwoord

Beste Roland,

Die intervallen worden inderdaad steeds groter, vandaar dat ik liet zien dat je gerust intervallen kan laten vallen, bv. alle intervallen tot een zekere n = k.

Het lukt echter niet de verzameling intervallen te beperken tot een eindig aantal want als je dat doet en je grootste waarde voor n is n = p, dan bevat je interval niet de elementen onder 1/p en ook niet boven 1-1/p, zie m'n vorig antwoord. Hoe "groot" p ook is (en "p = ¥" kan niet), je benadert (0,1) wel maar je hebt niet het volledige interval.

Voor [0,1] kan je niet vertrekken van deze overdekking, want de unie geeft je niet [0,1]. Eender welke (open) overdekking die als unie wél [0,1] omvat, kan je beperken tot een eindige overdekking.

mvg,
Tom

td
18-12-2009