WisFaq!

Compactness van sets van een topological space X

Hoi,

Stel je hebt een open set (0,1) en een gesloten set [0,1] in space X waarbij X de space is van reële getallen. Nu is de set (0,1) niet compact en de set [0,1] is wel compact. Dat snap ik eigenlijk niet.

De definitie van compactness is alsvolgt:
A topological space X is compact if EVERY open cover has a finite subcover.

Dit is wat ik begrijp:

Een open cover van een space X is een collectie van open sets waarbij de union tussen deze sets alle elementen bevat van de space X.

Een subcover is een subset van de open cover waarbij de union van de sets in de subcover nog steeds alle elementen van space X bevat.

Een finite subcover bevat een eindig aantal elementen.

Nu waarom is set (0,1) niet compact? Bij deze set heeft dus niet elke open cover een finite subcover. Wikipedia zegt dan (http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space#Examples)
dat dit komt omdat open cover (1/n , 1-1/n) met n=2,3... geen finite subcover heeft?? Echter neem ik de open set van deze collectie van open sets waar n = ¥ dan heb ik toch een finite subcover? Immers open set (1/¥,1-1/¥) is maar één element en covers het hele interval (0,1). En waarom heeft deze cover wel een eindige subcover bij het gesloten interval [0,1]. Het moet eraan liggen dat deze set wel de elementen 0 en 1 bevat en de andere niet. Maar ik begrijp niet waarom dat hier zoveel uitmaakt.

Ik hoop dat u mij kunt helpen aangezien mijn docent zegt dat de colleges zijn afgelopen en dat hij buiten de colleges geen tijd heeft om me te helpen.

alvast bedankt!

Roland
17-12-2009

Antwoord

Beste Roland,

Wat je precies bedoelt met "ik de open set van deze collectie van open sets waar n = ¥", is me niet helemaal duidelijk; let op dat "oneindig" geen getal is dus "n = ¥" kan je niet zomaar schrijven.

Is het je duidelijk dat als je de unie neemt van alle open intervallen (1/n,1-1/n) met n = 2, 3,..., dat je dan het open interval (0,1) krijgt?

Je kan deze verzameling van open intervallen beperken door te beginnen bij n = k voor een zeker natuurlijk getal k, maar de unie zal slechts gelijk zijn aan (0,1) als je n = k, k+1, ... neemt; nog steeds een oneindig aantal elementen.

Zou je stoppen bij een zeker natuurlijk getal m k, dus werken met de unie van de intervallen voor n = k, k+1, ... , m; dan heb je met deze unie niet het hele interval (0,1) omdat bijvoorbeeld elementen x met 0 x 1/m er niet in zitten.

Het leest overigens erg moeizaam wanneer je Engels en Nederlands op deze manier mengt, gebruik bv. verzameling, ruimte, unie, compactheid, ...

mvg,
Tom

td
17-12-2009