WisFaq!

Hulp met limiet

ik moet de volgende limiet oplossen en mag geen hopital gebruiken limx$\to$0 (√(1+xsinx) -cosx)/sin²(x/2) heb al verscheidene manieren geprobeerd en mijn intuitie zegt dat de kans groot is dat het 2 is maar kan dat niet bewijzen hopelijk julie wel
alvast bedankt

kevin
16-12-2009

Antwoord

Hallo

We maken gebruik van de eigenschap :
lim(z-0)^sin(z)/_z=1

Vermenigvuldig teller en noemer met de toegevoegde van de teller.
De teller wordt dan 1+x.sin(x)-cos²x = x.sin(x)+sin²x
De toegevoegde term in de noemer zonderen we af en de limiet ervan is 2.

Van de overgebleven breuk delen we teller en noemer door x²
De teller wordt dan ^sin(x)/_x + ^sin2x/_x²
De limiet hiervan is 1 + 1² = 1 + 1 = 2

De noemer wordt ^sin2(x/2)/_x² =
¹/₄.^sin2(x/2)/_(x/2)²
Hiervan is de limiet ¹/₄.1² = ¹/₄

We hebben dus ²/_(2.¹/4) = 4

Ok? Als er iets niet duidelijk is, hoor ik wel iets.

LL
16-12-2009