WisFaq!

Partieel integreren

Hoi, in een van mijn opgaven wordt gevraagd d.m.v partieel integreren aan te tonen dat de integraal ln x dx = x ln x-x. Na veel geploeter heb ik de uitwerking geraadpleegd :]ln x dx=]ln x . 1 dx=]ln x dx =x ln x-]x d ln x=xlnx - ]x. 1/x dx=xlnx - x. Sjouw mij maar weg.Zo ook ]sinx cosx dx= ]sinx d sinx =1/2 sin² x + c.
Ik zou erg geholpen zijn als je voor mij een tipje van de sluier omtrent het "parkeren" differentieren danwel primitiveren kan oplichten. Bij voorbaat dank

kees van der waal
22-12-2002

Antwoord

Nog maar een poging wagen dan maar?

Partieel integreren is een techniek die gebaseerd is op de productregel voor differentiëren:
(f(x)·g(x))' = f '(x)·g(x) + f(x)·g'(x), dus
f '(x)·g(x) = (f(x)·g(x))'- f(x)·g(x) . Deze regel integreren geeft:
òf '(x)·g(x)dx = f(x)·g(x) + c - òf(x)·g'(x)dx (*)

Jij wilt berekenen: òln(x)dx = ò1·ln(x)dx, dus nu is f '(x) = 1 en g(x)= ln(x). Je weet nu dus dat geldt: f(x) = x. Pas nu (*) toe:
òln(x)dx = x·ln(x) + c - òx.¹/_xdx = x·ln(x) + c - ò1dx = x·ln(x) - x + c.

Bij de tweede integraal: òsin(x)·cos(x)dx gebruiken we (*) met nu
f '(x) = cos(x) en g(x) = sin(x). Je weet nu dat geldt: f(x) = sin(x). Je krijgt:
òsin(x)·cos(x)dx = sin(x)·sin(x) + c - òsin(x)·cos(x)dx. Dit geeft
2·òsin(x)·cos(x)dx = sin²(x) + c , dus
òsin(x)·cos(x)dx = ¹/₂sin²(x) + d,
waarin de integratieconstante d = ¹/₂c

Hopelijk is 't wat duidelijker zo.

jr
22-12-2002