WisFaq!

Reductieformule

Gegeven:Int tan⁵(x)dx Te berekenen: F(x) Berekening: Ik maak gebruik van de reductieformule uit "Antiderivatives/Reduction Formulas". Het lijkt geen probleem, maar de uitkomst verschilt met "Wolframalpha.com"
Als volgt:
{tan⁴(x)/4}-Int{tan³(x)}dx={tan⁴(x)/4}-Int{tan²(x).tan(x))dx={tan⁴(x)/4}-Int[{sec²(x)-1}.tan(x)]dx=
{tan⁴(x)/x}-Int[tan(x).sec²(x)]dx-Int[tan(x)]dx=
Stel nu alleen even voor het middengedeelte u=tan(x) ® du=sec²(x)dx; zodat:
{tan⁴(x)/4}-Int[u]du-Int[tan(x)]dx=
{tan⁴(x)/4}-Int d[u²/2]-Int[sin(x)/cos(x)}dx=
Stel nu t=cos(x)® dt=-sin(x)dx
{tan⁴/4}-¹/₂u² +Int d[1/cos(x)]d{cos(x)}=
{tan⁴(x)/4}-¹/₂tan²(x)+ ln(cos(x)) + C
Volgens "Wolframalpha"
y={sec⁴(x)/4}-sec²(x)-ln{cos(x)}
Ik hoop dat iemand kan bevestigen, dat ik geen vergissing heb gemaakt! Bij voorbaat hartelijk dank.

Johan uit de Bos
23-11-2009

Antwoord

Bij het derde =-teken krijg je +Int[tan(x)]dx. Verder is je antwoord goed; je kunt tan⁴(x)/4-¹/₂tan²(x) ombouwen tot sec⁴(x)/4-sec²(x) (vervang in de even machten van tan(x) telkens sin²x door 1-cos²x en werk het geheel uit.

kphart
25-11-2009