WisFaq!

Vectorruimte en acht axioma

Dag heer/ mevrouw,
Kunt u me misschien helpen of een hint geven met de volgende vraag:
Ik moet een ruimte V construeren (die geen lineaire ruimte is ) over een lichaam F (niet noodzakelijk R of C). Ik heb alle vrijheid in het kiezen van F, in het definiëren van de optelling en scalaire vermenigvuldiging in V.
V moet voldoen aan minstens zes van de acht axioma voor vectorruimte maar niet alle acht.
Axioma
u + (v + w) = (u + v) + w.
v + w = w + v.
Er is element 0 ∈ V, zodanig dat v + 0 = v voor alle v ∈ V.
Voor alle v ∈ V, er is een w∈ V, zdd v + w = 0.
a(v + w) = av + aw
(a + b)v = av + bv
a(bv) = (ab)v
1v = v, waarbij 1 is de multiplicative identity in F.

Met vriendelijke groeten,
Ha

ha
17-11-2009

Antwoord

Je kunt een heel eind komen door een vectorruimte te nemen en aan de scalaire vermenigvuldiging te rommelen.
Voorbeeld 1. Neem V = R² met de gewone optelling en definieer a*(x,y)=(0,0); dan heb je de eerste zeven axioma's, maar niet de laatste.
Voorbeeld 2. Neem V = R² met de gewone optelling en definieer a*(x,y)=(-ax,-ay); dan heb je de eerste zes axioma's maar niet de laatste twee.
Kijk maar eens wat je krijgt als je a*(x,y) = (ay,ax) definieert.

kphart
24-11-2009