WisFaq!

Partieel integreren

Het volgende vraagstuk moet met p.i. opgelost worden.
f(x)= Int{x.ln(x+1)}dx= ¹/₂Int{ln(x+1)}dx².
p.i. regel luidt: Int u.dv= u.v.- Int v.du
Stel u= ln(x+1)® du= 1dx/(x+1). dv=dx²® v=¹/₂x²
Over dit laatste heb ik twijfels, immers dv=dx®v=x
Ik hoop dat iemand het juiste antwoord op de vraag heeft.
Bij voorbaat heel hartelijk dank!

Johan uit de Bos
14-11-2009

Antwoord

Als je stelt u = ln(x+1), dan loopt het mooier/eenvoudiger als je hiervan eerst maakt x+1 = e^u wat weer leidt tot dx = e^udu

Als tweede mogelijkheid zou je kunnen overwegen dat de primitieve van de functie f(x) = ln(x) tot de standaardprimitieven wordt gerekend. Die primitieve is namelijk F(x) = xln(x) - x (differentieer maar eens!)
Nu maakt het weinig verschil dat in jouw opgave ln(x+1) staat in plaats van ln(x).
De primitieve van f(x) = ln(x+1) is gewoon F(x) = (x+1)ln(x+1) - (x+1)
Dan is het daarmee dus mogelijk om je integraal direct te schrijven als
ňx.d[(x+1)ln(x+1) - (x+1)]
Men drukt dit wel uit met 'de factor ln(x+1) is achter de d gebracht'
In elk geval kun je het procédé van de partiële integratie vanaf dit punt nu direct starten.

MBL
14-11-2009