Hallo Lieke,
Dat heb ik inderdaad al geprobeerd.
Dan krijg ik oplossingen die op de lijn y = 4/3x liggen plus een aantal op de x-as en de y-as.
Maar dan vraag ik me af. Zijn dat alle oplossingen.
Ik krijg het bewijs niet netjes af.
Maar in ieder geval bedankt.
Gr. Matt
Matt Verstappen
4-11-2009
Helaas is het antwoord nee.
Dat zijn niet alle punten.
Buiten de lijn y=4/3x en een paar punten op de assen zijn er ook nog een aantal.
Kies je bijvoorbeeld x=21 en y=-20 dan x2+y2=441+400=841=292 en
(x-3)2+(y-4)2=182+(-24)2=900=302.
Deze punten zijn snijpunten van de cirkels x2+y2=s2 en (x-3)2+(y-4)2=t2 zodanig dat x en y geheel zijn.
Uitwerken van (x-3)2+(y-4)2=t2 levert:
x2-6x+9+y2-8y+16=t2
Invullen van x2+y2=s2 levert
-6x-8y+25+s2=t2 oftewel:
6x+8y=25+s2-t2
De roosterpunten die snijpunt zijn van de lijnenbundel 6x+8y=25+s2-t2 en x2+y2=s2 zijn ook oplossingen.
Voor punten die iets verder wegliggen van de punten (0,0) en (3,4) zullen s en t weinig verschillen, zeg bijvoorbeeld |s-t|=1.
Als |s-t|=1 dan is t=s+1 of t=s-1 zodat s2-t2 gelijk aan -2s-1 of 2s+1, zodat
6x+8y=25+s2-t2 dan overgaat in 6x+8y=24-2s of 6x+8y=26+2s.
Roosterpunten op deze twee lijnen zijn eenvoudig te vinden, waarna je x2+y2=s2 kunt controleren.
Het voorbeeld x=21, y=-20 hoort bij 6x+8y=-34=24-58, dus s=29.
Dus als ik alle punten moet beschrijven dan krijg ik:
1) (x,y)=(3k,4k)
2) De roosterpunten die snijpunten zijn van x2+y2=s2 en 6x+8y=25+s2-t2.
Deze tweede verzameling laat zich niet zo een twee drie eenvoudiger opschrijven.
hk
11-11-2009
#60677 - Analytische meetkunde - Student hbo