WisFaq!

Hoe kan je zien dat een groot getal een kwadraat is?

Hoi,

ik zit met een probleem in verband met kwadraten.
Ik weet namelijk niet goed hoe je kan bepalen of een groot getal al dan niet een kwadraat is?

we hebben bv. de volgende opgave gekregen :

n wordt in het tientallig stelsel geschreven met 300 enen en vervolgens een aantal nullen. Is n een kwadraat?

Ik weet niet goed hoe ik hier best aan begin, of kan je dit ook gewoon met modulorekenen oplossen?

groetjes

Bert Fransen
4-11-2009

Antwoord

Hallo, Bert.

Ik beperk me tot de opgave. Je kunt de redenering wel generaliseren.

n = 10^k*(1+10+100+...+10²⁹⁹) voor zeker natuurlijk getal k (eventueel k=0).

Dus n is modulo 9 gelijk aan 1^k*(1+1²+...+1²⁹⁹) = 1*(1+1+...+1) = 300 = 3 (mod 9).
Dit betekent dat de priemfactorontbinding van n precies één priemfactor 3 bevat.
Maar de priemfactorontbinding van een kwadraat bevat elke priemfactor een even aantal keren.
Bijvoorbeeld 3⁴5⁶11² is een kwadraat, maar 5³13⁸ niet.
Dus uw n is geen kwadraat.

hr
4-11-2009