WisFaq!

Driehoek inpassen

Stel, je hebt een punt in de 2D ruimte.

Vanuit dit punt lopen 3 lijnen (waarbij de hoek tussen de buitenste lijnen < 180 graden is). Nu heb je een driehoek, waarvan de maten (en hoeken) bekend zijn. Deze driekoek moet zo worden geplaatst, dat de hoeken van de driehoek precies op de 3 lijnen komen. (dat kan aan twee kanten van het punt natuurlijk) Je weet van iedere hoek op welke lijn hij moet komen.

Is er nu een vergelijking op te stellen waarmee je (als je de lijnen en driehoek kent) deze punten uit kunt rekenen?

Ik weet dat de plaats van de driehoek eenduidig bepaald is (als je ervan uitgaat dat je aan een kant van het punt kijkt), want ik ben al met pen en papieren driehoekjes aan de slag geweest.

Ook in 3D is dit probleem op te lossen met papier, maar hoe doe ik dit mooi wiskundig?

Rob Audenaerde
18-12-2002

Antwoord

Hoi,

Je hebt een punt t en drie rechten P, Q en R door dit punt.
Je hebt ook een driehoek Dabc. Je vraagt nu om een driehoek Dpqr te construeren zodat p op P, q op Q en r op R ligt en zodat Dpqr positief congruent is met Dabc (geen spiegeling) (waarbij a met p, b met q en c met r overeenkomt).

We veronderstellen dat P, Q en R elkaar snijden onder hoeken (P,Q)=a, (Q,R)=b en (P,R)=g. We nemen aan dat Q tussen P en R ligt, dus moet a+b=g<p.

We bekijken het eerst meetkundig.
We proberen eerst een punt t' te bepalen zodat (t'a,t'b)=a, (t'b,t'c)=b en (t'a,t'c)=g.

De meetkundige plaats van alle punten van waaruit je een gegeven lijnstuk onder een bepaalde hoek ziet, bestaat uit 2 cirkelbogen. Je kan die voor [ab] bepalen door een gelijkbenige driehoek met tophoek 2a te tekenen en de omschreven cirkel te construeren. De boog waarin de tophoek van de gelijkbenige driehoek ligt is een eerste boog. De spiegeling om ab ervan is de tweede boog.

Je construeert dus de bogen op [ab], [bc] en [ac]. Hun snijpunt(en) zijn mogelijke oplossingen voor t'.

Met een verschuiving en een rotatie kan je nu t' doen samen vallen met t en zodat a op P lig. b en c zullen dan respectievelijk op Q en R liggen. De beelden van a, b en c op respectievelijk P, Q en R zijn de gezochte punten p, q en r. Je kan p, q en r ook puntspiegelen om t. Dan krijg je de tweede oplossing. Dit kan voor elk punt t' dan je vindt zoals beschreven.

In 3D zouden we dan met bollen moeten werken ipv met cirkels. Je kan verder een gelijkaardige redenering volgen.

Je kan het ook analytisch aanpakken. Leg de oorsprong in het punt t en kies drie richtingsvectoren u, v en w voor de rechten P, Q en R. Punten p, q en r kunnen we dan schrijven als: p=lu, q=mv en r=nw.
We moeten nu nog uitdrukken dat |pq|=|ab|, |qr|=|bc| en |pr|=|ac|. Met |ab|=C, |bc|=A en |ac|=B is dit:
(q-p)²=C², (r-q)²=A² en (r-p)²=B². Met de uitdrukkingen voor p, q en r krijgen we dus 3 vergelijkingen in l, m en n (in l², m², n², l.m, l.n en m.n). Onder bepaalde voorwaarden (te vertalen in meetkundige voorwaarden voor de hoeken tussen u, v en w) krijg je hiervoor oplossingen. Daarmee heb je dan de punten p, q en r bepaald.

Hiermee kom je al een eind op weg. Nog vragen? Laat maar horen...

Groetjes,
Johan

PS: het heeft heel wat weg van Plaatsbepaling camera...

andros
20-12-2002