WisFaq!

Functies met een parameter

Hoi,

Ik zit in Vwo 4 en ik doe nu Wiskunde B.
Mijn laatste twee wiskunde lessen zijn uitgevallen en we hebben wel huiswerk opgekregen waar ik niks van snap want in het boek staat het niet goed uitgelegd. Het gaat onder andere om deze vraag:

Gegeven zijn de functies f_p(x)=px²+2px+3
Bereken algebraïsch voor welke p
a) f_p een negatief minimum heeft
b) f_p een negatief maximum heeft

Ik had het aan een andere wiskunde docent gevraagd maar ik snapte zijn uitleg niet want hij had het over afgeleides en dat hebben wij nog niet gehad.

Als voorbeeldopgave is dit gegeven:

Gegeven zijn de functies f_p(x)= 2x²-10x+p
Bereken algebraïsch voor welke p de functie f_peen negatief minimum heeft

Uitwerking:
Er moet gelden D$>$0
D= (-10)² - 4·2·p = 100-80 } 100 - 8p $>$0
-8p $>$ -100
p$<$12,5

Ik snap dat D $>$ 0 want het is een negatief minimum dus een dalparabool maar ik snap het verder niet.
Wie kan mij helpen met deze vraag?

R
23-10-2009

Antwoord

Als f_p een negatief minimum heeft dan zal in ieder geval p$>$0. Dan heb je immers te maken met een dalparabool met een minimum. Als dat minimum negatief moet zijn dan zal die parabool twee nulpunten moeten hebben. Dus we kunnen dat als volgt formuleren:

px²+2px+3=0 heeft twee oplossingen en p$>$0.

De discriminant is een goed middel om vast te stellen of een tweedegraads vergelijking (zoals hierboven) geen, één of twee oplossingen heeft. Dus dat was een goed plan!

px²+2px+3=0 heeft twee oplossingen als D$>$0
D=(2p)²-4·p·3$>$0
4p²-12p$>$0
p²-3p$>$0
p$<$0 of p$>$3
Alleen p>3 voldoet aan de tweede eis: p$>$0.
Oplossing: voor p$>$3 heeft f_p een negatief minimum.

Nu jij voor vraag b.

WvR
24-10-2009