WisFaq!

Tussenwaardestelling

Hallo,

Ik snap niet veel van de tussenwaardestelling zou u me hiermee willen helpen? ik heb voornamelijk probleem met het toepassen ervan.

vb.1 f(x)=cosx + x²/2 op interval [0,x] gebruik hier de tussenwaardestelling en laat zien dat cos x 1-x²/2

vb.2 g(x)=tan x laat ziet d.m.v de mean-value theorem dat tan x x voor 0 x p/2

S.
19-10-2009

Antwoord

Beste S.

vb 1. Hier is f(0)=cos(0)+0²/2=1+0=1 en f(x)=cos(x)+x²/2.
De tussenwaardestelling, toegepast op [0,x] met positieve x, zegt:
Er is cÎ(0,x) met
f '(c) = (f(x)-f(0))/(x-0), dus
-sin(c)+c = (cos(x)+x²/2-1)/x.
Nu is eenvoudig bewijsbaar dat voor positieve x en c het linkerlid van deze laatste gelijkheid positief is, dus het rechterlid ook (, want beide leden zijn gelijk), dus de teller van het rechterlid is voor positieve x ook positief.
Hiermee is de ongelijkheid die bewezen moest worden, bewezen voor positieve x.
Voor negatieve x volgt de ongelijkheid uit het feit dat zowel het linkerlid als het rechterlid van de ongelijkheid gelijk blijven als men x vevangt door -x.

vb 2. Pas de tussenwaardestelling toe op [0,x] met xÎ(0,p/2).
Dus er is cÎ(0,x) met
g'(c) = (g(x)-g(0))/(x-0) , dus
1/cos²(c) = tan(x)/x.
Het linkerlid van deze laatste gelijkheid is groter dan 1 (want de noemer is kleiner dan 1) voor cÎ(0,p/2), dus het rechterlid is ook groter dan 1 voor xÎ(0,p/2) (, want gelijk aan het linkerlid).
Hieruit volgt het te bewijzene.

hr
21-10-2009